Архієпископ Євгеній Базяк народився 8 березня 1890 року в Тернополі в родині судового урядника. У 1897-1903 роках навчався в тернопільській народній школі імені Конарського, потім - у Тернопільській гімназії. 1908 року вступив до Львівської Вищої Духовної семінарії і одночасно на Теологічний факультет Львівського університету. 14 липня 1912 року висвячений на священника в костелі cвв. Апп. Петра і Павла у Перемишлянах на Львівщині єпископом Владиславом Бандурським.

Призначений вікарієм парафіяльного костелу св. Лаврентія у Жовкві. 1917 року мобілізований до австрійського війська, де служив капеланом. У 1914-1919 роках був також вікарієм у тернопольському парафіяльному костелі Матері Божої Неустанної Допомоги, знищеному після ІІсв. війни радянською владою. 1921 року у Львівському університеті захистив докторську дисертацію з теології. У 1925 році отримав статус апостольського протонотарія і почесного каноніка Львівської митрополичої капітули. З 1919 року був префектом, з 1924 року - віце-ректором, а в 1933-1939 роках - ректором Львівської Вищої Духовної семінарії. У 1931-1934 роках працював настоятелем парафіяльного костелу Непорочного Зачаття Пресвятої Діви Марії в Івано-Франківську (тоді - Станіславові).

Святіший Отець Пій XI 15 вересня 1933 року призначив єпископом титулярним Phocaea та Львівським єпископом-помічником. 5 листопада цього ж року висвячений на єпископа у Львові архієпископом Болеславом Твардовським. З приходом у вересні 1939 року радянської влади розпочався період переслідування Католицької Церкви. Єпископ Базяк у ці нелегкі часи заміщав важко хворого архієпископа Твардовського, а 26 квітня 1944 року був призначений архієпископом титулярним Pariany та архієпископом-коад'ютором Львівським з правом наступництва. 22 листопада цього ж року (після смерті архієпископа Твардовського) призначений Львівським архієпископом митрополитом.

Проте 26 квітня 1946 року змушений був виїхати до Польщі, перевівши туди Семінарію та інші церковні структури. Осідок архідієцезії був встановлений у Любачеві на тій частині архієпархії, яка їй належала, але після встановлення польсько-радянського кордону опинилась на території Польщі. 23 березня 1951 року призначений також коад'ютором Краківським, а 23 червня - Апостольским адміністратором Краківським. У грудні 1952 року був ув'язнений польською комуністичною владою, проте наступного року звільнений через стан здоров'я. Змушений був покинути терени Краківської архідієцезії та архідієцезії Львівської (у Любачеві). Повернувся до Кракова 1956 року. 28 вересня 1958 року висвятив в єпископи о. Кароля Войтилу (майбутнього Папу Йоана Павла ІІ). 3 березня 1962 року призначений Краківським архієпископом митрополитом та Апостольським адміністратором Львівської архідієцезії у Любачеві. Помер 15 червня 1962 року у Варшаві. Похований в Кракові у Вавельській катедрі.